どらまささん、こんにちは。

＞始めに起動したDBは、IP接続できるのに対し
＞後で起動したDBは、IP接続出来ません。
＞リストア画面でのメッセージで、「TCPIP通信リンクを起動しませんでした」
＞と出てきてしまいます。
＞NetBIOSでは、正常に接続が出来ます。
＞
＞起動時は、特にパラメータを指定していません　コマンドラインは、
＞dbeng6 \"dbname\"
＞です。

多分ポートの競合が起きていると思います。
6.0は触ったことが無いので推測で間違っているかもしれませんが、
dbeng6ではなく、dbsrv6なんていうのはありますか？
もしあれば、サーバ側においてそれで起動かけ、互いのDBサーバの
TCPIPポート番号を明示的に違うものにしなければいけないと思います。

無責任発言ですが、ポートが鍵になっていると思います。