gawaさん、こんばんは。

＞DOSプロンプトにて、アプリB、およびPBのランタイムライブラリがないディレクトリ
＞（ルート）に移動し、ファイル名のみ指定して、アプリBを実行したところ、
＞起動できました。
＞このことから、PATHの設定については問題はない、と思うのですが。

PATHの問題ではなさそうですね。

エラーメッセージは出ていないとのことですが、何か他に原因があると思います。
試しにVBでPBアプリを起動するテストプログラムを作成し、それで動作確認を
してみるのも良いかもしれません。
他のマシンでは動いているとすると、やはり環境があやしいように思います。