こんにちは。

＞ユーザーオブジェクトを作成し、それをあらかじめウインドウ（フォーム）に配置しておくのではなく
＞「新規作成」ボタンを押すとウインドウ上に新しいユーザーオブジェクトを生成し、
＞（コントロール名はuo_1、uo_2, uo_3．．．．とカウントアップしていく（配列になればもっといい！））
＞表示するようなコードをボタンのクリックイベントに書きたいのですが．．．．

OpenUserObject関数にて、動的にコントロールを生成できます。
ウィンドウのインスタンス変数で、オブジェクトの型で変数を確保（配列可）しておき、
ボタンを押すごとに、その変数を OpenUserObject します。

ウィンドウを閉じる際、CloseUserObject をしないとメモリリークするので注意が必要です。