マッタケさん、こんにちは。

＞ＨＴＭＬより、ＰＢＤファイルに登録してあるチャイルドウィンドウを起動しています。
＞起動されたウィンドウ上から
＞　　レスポンスウィンドウ（非表示）→ＤＯＳコマンド
＞という順にウィンドウの遷移をおこなっており、ＤＯＳコマンドでの処理が終了後、
＞順次ウィンドウを閉じて、チャイルドウィンドウに戻ります。

なぜレスポンスウィンドウを非表示にする必要があるのですか？
メイン（ここで言うチャイルドウィンドウのこと）から直接DOSコマンドを起動すれば良さそうな気がします。

ちなみに、DOSで実行している処理って何ですか？
場合によってはDOSを使わないで実行する手段があるかもしれません。

＞　最初はチャイルドウィンドウに戻ってきた段階で、SetPositionとSetFocusを
＞Callしていたのですが、それでも前面に出てこなかったためAPIを使用して前面に出そうと
＞しているのですが、うまくいきません。

ブラウザ自体のウィンドウハンドルをに対して実施しないと意味ないのでは？
内側に張りついているチャイルドウィンドウを最前面にしても、その親まで制御が渡らないのだと思います。