＞Run関数によりBATファイルを起動する際にDOS窓を見せない方法を考えています。
：
＞できそうにありません。WinAPIを使用すればできるのでしょうか。
＞ごぞんじの方がいましたらご教授願います｡

ご存知ではないんですが、以下が怪しいです。
# api32wh.hlpから引用

HINSTANCE ShellExecute(hwnd, lpszOp, lpszFile, lpszParams, lpszDir, wShowCmd)

 HWND hwnd;            /* 親ウィンドウのハンドル */
  LPCTSTR lpszOp;      /* 実行する操作の文字列のアドレス */
  LPCTSTR lpszFile;     /* ファイル名の文字列のアドレス */
  LPTSTR lpszParams;  /* 実行可能ファイルのパラメータの文字列のアドレス */
  LPCTSTR lpszDir;      /* デフォルト ディレクトリの文字列のアドレス */
  INT wShowCmd;        /* オープンされたときのファイルの表示の有無 */

wShowCmd に SW_HIDE ( = 0 )を与えるとご希望の状態になるかもしれません。

お試し下さい。